Senin, 02 Juli 2012

Materi Barisan dan Deret

 A.    POLA BILANGAN, BARISAN BILANGAN, DAN NOTASI SIGMA
(i) Pola Dan Barisan Bilangan
Sekumpulan bilangan yang sering ditemui kadang mengikuti pola tertentu, misal :
-          barisan bilangan asli : 1, 2, 3, 4, 5,….
-          barisan bilangan genap : 2, 4, 6, 8, ….
-          barisan bilangan ganjil : 1, 3, 5, 7, ….
Kumpulan bilangan seperti di atas membentuk sebuah barisan bilangan.
Barisan bilangan adalah susunan anggota suatu himpunan bilangan yang diurutkan berdasarkan pola atau aturan tertentu.
Anggota barisan bilangan disebut suku, dinyatakan sebagai berikut :
            U1, U2, U3, …………, Un
contoh :
1.      Suatu barisan dalam bentuk rumus Un = 2n + 3.
a.       tentukan barisan bilangan tersebut
b.      tentukan U15 dan U20 !
pemecahan :
a.       Un = 2n + 3, maka barisan bilangannya adalah :
U1  = 2 (…) + 3 = ….
U2  = 2 (…) + 3 = ….
U3  = 2 (…) + 3 = ….
U4  = 2 (…) + 3 = ….
Barisan bilangan = ……………………………..
b.      U15 = …………………………………………..
U20 = …………………………………………..                  
2.      Suatu barisan dalam bentuk rumus .
a. Tulis 6 suku pertamanya
b.tentukan suku ke-8 dan suku ke-10
UNTUK MENDOWNLOAD MATERI SELANJUTNYA, SILAHKAN BUKA LINK DI BAWAH INI.....


http://www.ziddu.com/download/19832349/modulbarisan-deret.doc.htmlpemecahan :
a.                                                  b.  U8   = ………………………………..
      U1 = ……………………                           U10 = ………………………………..
      U2 = ……………………
      U3 = ……………………
      U4 = ……………………
      U5 = ……………………
      U6 = ……………………       

(ii) Notasi Sigma
Untuk menuliskan jumlah dari suku-suku barisan bilangan dapat digunakan notasi sigma atau notasi penjumlahan sebagai berikut :
          U1 +  U2 + U3 + …………+ Un =
Contoh :
            1.
            2.
                                  = …………………………………………………………………………


(ii) Notasi Sigma
Untuk menuliskan jumlah dari suku-suku barisan bilangan dapat digunakan notasi sigma atau notasi penjumlahan sebagai berikut :
          U1 +  U2 + U3 + …………+ Un =
Contoh :
            1.
            2.
                                  = …………………………………………………………………………..








LATIHAN 1
 



1.      Tuliskan 5 suku pertama dari barisan berikut :
a.       Un = 3n – 1                   b.                         c.
2.      Tentukan hasil penjumlahan berikut :
         a.                         b.                                         c.
Penyelesaian :
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………

A.    BARISAN ARITMATIKA
adalah : suatu barisan bilangan, di mana selisih antara suku-suku yang berurutan adalah tetap/konstan.
    Rumus :
                                Un = a + (n – 1) . b
 
    di mana :    
                        Un = suku ke-n
                        U1 =  a = suku pertama
                           b = beda / selisih = U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = Un – Un-1
contoh :
1.      Tentukan rumus ke-n dan suku ke-10 dari barisan bilangan : 5, 10, 15, 20,….. !
pemecahan :
            a = U1 = 5
            b = 10 – 5 = 5
            Rumus suku ke-n = Un = a + (n -1) b
                                            Un = …. + (n – 1) . …      Un = … + …n – ….     Un = …..
            Suku ke-10 = U10 = ………………………………………..

2.      Suku ke-5 suatu barisan aritmatika adalah 11, sedang suku ke-11 adalah 29. Tentukan besar suku ke- 30 dari barisan tersebut !
pemecahan :
                  U5 = 11   a +  (n – 1)b  = 11    ….. + ….. = 11
                 U11 = 29   a +  (n – 1)b  = 29    ….. + …. = 29
                                                                                   …….  = …..    ………….
                 U5 = 11    …. + ….  = 11
                                 …. + …….. = 11     ……………       ……………
           Jadi besar suku ke-30 = U30 = ….. + …..
                                                        =  ….. + ….. = ……………………………….














LATIHAN 2
 



1.      Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut ini :
a. 2, 5, 8, 11, ….                  b. 9, 6, 3, 0, …….                 c. -17, -13, -9, ……
2.      Tentukan suku ke-15 dari barisan berikut :
a. 32, 21, 10, ….                  b.                  c. -1, 2, 5, ………..
3.      Suatu barisan aritmatika diketahui :
a.       U10 = 40 dan U15 = 45, hitunglah U8 !
b.      U6 = -3 dan U20 = -45, hitunglah U10 !
c.       U7 = 10 dan U13 = -2 hitunglah U20 !

Penyelesaian :
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
B.     DERET ARITMATIKA
Adalah : jumlah dari suku-suku pada barisan aritmatika
Bentuk umum :   U1 +  U2 + U3 + …………+ Un
Rumus :
               Sn = n ( 2a + (n – 1 ) . b)                  atau                 Sn = n ( a + Un )
 
   Sn  = jumlah n suku yang pertama dari suatu deret aritmatika
     Un = Sn – Sn-1

Contoh :
1.      Hitunglah jumlah 20 suku pertama deret aritmatika : 4 + 11 + 18 + 35 + …….. !
pemecahan :
        a = ….
        b = ….. – …. = ……
        n = ……
        Sn = n ( 2a + (n – 1 ) . b)
        S20 = . … ( 2 . … + (…. – 1 ) . …) = …. ( …. + …. ) = …. ( …..+ ……) = …….

2.      Hitung jumlah deret aritmatika : 4 + 9 + 14 + …… + 104 !
pemecahan :
       a = …..
       b = … – … = …
    Un = ……
             Un = a + (n – 1) . b
           …... = …. + ( …. – 1 ) . …        …. = … + …. - …..        …… = ……………
      n = ……
    maka   S…. = n ( a + Un )  =  . ….( …. + …. )  =  …………..  =  …….













LATIHAN 3
 



1.      Hitunglah jumlah setiap deret aritmatika berikut ini :
a.       15 + 12 + 9 + …… sampai 15 suku
b.      (-8) + (-3) + 2 + …… sampai 20 suku
c.       11 + 16 + 21 + …… sampai 18 suku
d.      12 + 9 + 6 + ….. sampai 10 suku
2.      Suatu deret aritmatika diketahui :
a.       U5 = 12 dan U14 = 48, hitunglah jumlah 25 suku yang pertama !
b.      U5 = 21 dan U17 = 81, hitunglah jumlah 30 suku yang pertama !
c.       U2 = 8 dan U3 + U5 = 32, hitunglah jumlah 20 suku yang pertama !
Penyelesaian :
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………

C.    BARISAN GEOMETRI

adalah :      suatu barisan bilangan, di mana perbandingan antara suku-suku yang berurutan adalah tetap/konstan.

Un = a . r n-1
 
Rumus :


Di mana :
                        Un = suku ke-n
                        U1 = a = suku pertama
                           r = rasio =

contoh :
1.      Diketahui barisan geometri : 2, 4, 8, 16, ….. Tentukan suku ke-7 dari barisan tersebut !
penyelesaian :
    U1 = a = ……
            r =
               Un = a . r n-1

               U7 = …………… = …………….. = …………………


2.      Dalam barisan geometri diketahui U2 = 8 dan U5 = 1. Tentukan suku ke-6 barisan tersebut !
penyelesaian :
          

    U2 = 8  ……... = 8     …………………………………………………

    Jadi U6 = a . r …..
                = ……………………………………………………………………...









 


LATIHAN 4
 




1.      Tentukan suku ke-10 dari barisan geometri berikut :
a.       3, 6, 12, ….              c. -1, 3, -9, …..                  e.
b.      16, 12, 9, …             d.
2.      Suatu barisan geometri diketahui :
a.       U4 = 32 dan U6 = 512, hitunglah U5 !
b.      U2 = 6 dan U4 = , hitunglah U6 !
c.       U3 =  dan U7 =  hitunglah U4 !

Penyelesaian :
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………
…………………………………………………………………………………………………………

D.    DERET GEOMETRI

adalah : jumlah dari suku-suku pada barisan geometri

Bentuk umum :   U1 +  U2 + U3 + …………+ Un

Rumus :
              (i)     <  1
              (ii)    >  1
     Sn  = jumlah n suku yang pertama dari suatu deret geometri
     Un = Sn – Sn-1

Contoh :
1.      Hitunglah jumlah 10 suku pertama deret geometri : 3 + 6 + 12 + 24 + …….. !
             pemecahan :
                  a = ….
                  r =  
                  n = ……
                      jadi S10   
                                           S10 =  

2.   Suatu deret geometri : 2 + 22 + 23 + 24 + …… + 2n = 510. Tentukan nilai dari n !
      pemecahan :
                  a  = ….
                  r   =  
                  Sn = ……
                         
                           …. =    …. =
                           …. =     …. = ……………   …. = …………………..
                           …………………………………………………………………………………..
            






LATIHAN 5
 




1.      Hitunglah jumlah deret geometri berikut ini :
a.       2 + 4 + 8 + …. sampai 8 suku                                     
b.      27 - 9 + 3 -  …….. sampai 10 suku
c.       1 + sampai 6 suku
2.      Suatu deret geometri diketahui :
a.       U2 = 3 dan U4 = , hitung jumlah 12 suku yang pertama !
b.      U2 = 512 dan U8 = 8, hitung jumlah 10 suku yang pertama !
c.       U3 = 27 dan U7 = 2187, hitung jumlah 12 suku yang pertama !
 penyelesaian :
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
E.     DERET GEOMETRI TAK HINGGA

Rumus :
                             

Contoh :
1.      Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 5 m dari lantai. Tiap kali memantul, bola mencapai ketinggian setengah kali tinggi sebelumnya, demikian seterusnya. Tentukan jarak yang ditempuh bola tersebut sampai berhenti !

(i)   saat bola turun : …. +
       a = …..   , r = ……
      

 
penyelesaian :
  






(ii)         saat bola naik : 
       a = ….   , r = ….
      
       Jadi, panjang lintasan bola tersebut = ….. + ….. = ….

2.      Hitunglah jumlah deret geometri tak hingga berikut ini : 81 – 27 + 9 + ….. !
penyelesaian :
         a = ……….  , r = ……….
        












LATIHAN 6
 
 


1.      Hitunglah jumlah deret geometri tak hingga berikut ini :
a.       2 + 1 +                               c. 1 + 0,1 + 0,01 + ………
b.     
2.   Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 10 m di atas tanah rata. Tiap kali bola jatuh di permukaan tanah tersebut akan dipantulkan  kali tinggi sebelumnya, demikian seterusnya. Tentukan jarak yang ditempuh bola tersebut sampai berhenti !

   penyelesaian :
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
 ……………………………………………………………………………………………………………
SOAL-SOAL BARISAN DAN DERET
  1. Tentukan tiga suku berikutnya dari barisan : 5, 6, 9, 14, … !
  2. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan : 2, 5, 10, 17, ….. !
  3. Jika suatu barisan aritmatika diketahui suku ke-3 = 7 dan suku ke-6 = 14,5, maka tentukan suku pertama dari barisan tersebut !
  4. Tentukan banyak bilangan bulat antara 0 sampai 100 yang habis dibagi 3 !
  5. Suatu deret aritmatika diketahui suku ke-2 = 5 dan jumlah suku ke-4 dan suku ke-6 adalah 28, tentukan jumlah 9 suku pertamanya !
  6. Lima bilangan yang merupakan deret aritmatika jumlahnya sama dengan 100. Jika bilangan keempat besarnya dua kali bilangan yang pertama, maka tentukan bilangan kedua dari deret tersebut !
  7. Jika (y – 3), (x + 5), dan (2y – 1) berturut-turut membentuk barisan aritmatika, maka pernyataan berikut yang benar adalah ….
    1. 2x -3y = -6                       d. 2x -3y = -14
    2. 2x -3y = 14                      e. x -y = 7
    3. 2x -3y = 6
  8. Tentukan jumlah enam suku yang pertama dari deret : -8 + 4 -2 + ….. !
  9. Suku pertama dan suku kedua suatu deret geometri berturut-turut adalah a -4 dan a x. Jika suku ke-8 = a 25, tentukan nilai x !
  10. Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 10. Jika suku pertamanya adalah 2, tentukan rasio deret tersebut !
  11.  Dari suatu barisan aritmatika diketahui U10 = 41 dan U5 = 21, Tentukan U20 barisan tersebut !
  12. Seorang pemilik kebun memetik jeruknya setiap hari dan mencatatnya. Ternyata banyak jeruk yang dipetik pada hari ke-n dirumuskan Un = 30 + 15n. Tentukan jumlah jeruk yang telah dipetiknya selama 2 minggu !
  13. Jika suku pertama barisan geometri = 16 dan suku ke-3 = 36, tentukan suku kelimanya dan jumlah 8 suku pertamanya !
  14. Seutas tali dibagi menjadi 6 bagian dengan panjang membentuk barisan geometri. Jika yang paling pendek 3 cm dan yang paling panjang 96 cm, tentukan panjang tali tersebut !
  15. Perusahaan sepatu pada bulan ke-2 memproduksi 7000 pasang sepatu. Pada bulan ke-10 produksinya mencapai 9000 pasang. Jika kenaikan produksi tiap bulannya tetap, hitung jumlah produksinya selama 1 tahun !
  16. Tentukan rumus suku ke-n dari : -7, -11, -15, -19, ….. !
  17. Diketahui barisan geometri, suku pertamanya = 4 dan suku ke-5 = 324. Hitung jumlah 8 suku pertamanya !
  18. Tentukan jumlah tak hingga dari deret : 5 + 1 +
  19. Suku ke-n deret geometri = 3 –n. Tentukan jumlah tak hingga deret tersebut !
  20. Jumlah deret geometri tak hingga = 15. Jika suku pertamanya = 5, tentukan rasionya !











Tidak ada komentar:

Poskan Komentar